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  • 締切済み

位相数学の添削をしてほしいず

//oshiete1.goo.ne.jp/qa2682012.htmlで聞いたものです。 以下の問題について自分なりに解答をまとめてみたので添削してください。小さいことでもいいので悪いところを指摘してほしいです。 ページは松坂和夫の集合・位相入門をまとめたページです。 問1)Xの位相Oとは何か? ただしMλとかM1とかのλや1は添え字です。この問題は 前の質問にあるやつや152ページからまとめたものです。 解答)以下の条件、甲、乙、丙を満たすことである    甲. X∈O および φ∈O    乙. M1∈O、M2∈Oならば M1∩M2∈O    丙. (Mλ)λ∈∧ をOの元からなる任意の集合族(すなわち、      添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈      ∧に対してMλ∈O)とすれば∪Mλ∈O  問2)A∈XのときのAの相対位相となにか? これは188ページをまとめてみました。 解答)iをAからXへの標準的写像とする(つまり、x∈Aならあばi(x)=x)このときに、i:A→Xにより, Xの位相Qから誘導されるAの位相OaをAの相対位相とよぶ 問3)位相空間Xがコンパクトであるとは何か? これは209ページをまとめてみました。 解答)Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる   こと 問4)位相空間Xが連結であるとはどういうことか? 解答)Xの閉集合系をMとする。Xの位相をQとするときに、    Q∩M={S、φ}をみたすことである。 この答えであっているのか間違えているのか、違う部分を指摘してほしいです。

みんなの回答

  • MySalt
  • ベストアンサー率25% (1/4)
回答No.3

解答の内容に関しては他のみなさんのご意見の通りだと思うのですが、 数学というのは暗記モノではないので、これらの教科書そのものの表現を 自分の言葉で言い直す練習をしてみてはどうでしょう。 例えば問1の甲は、  「X全体と空集合はOの元(開集合)である」 みたいに。では同じように乙と丙はどうなるでしょうか。 特に丙は、なぜこんな表現になっているのでしょうか。 そういうことを「日本語で」表現できるようになると、 理解もより進むのではないかと思います。

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.2

問1 OK 問2 これは一般的な定義ではありません. 「写像fで誘導される」位相を使ってますが では「誘導される位相」とは何ですか? 普通はもっと単純な定義をします. もちろん定義としては同値なので, 論理的には問題はないのですが. 問3 これはOK.ただし,「部分集合として含む」という 表現は普通はしません. 「任意の開被覆から有限(部分)開被覆を取ることができる」 というような表現が普通です. #もちろん,任意の開被覆の「部分集合」として #有限開被覆があることは間違いないのですが. 問4 これは連結の定義としては一般的ではありません.  SはXの間違いというか・・・ 前の質問をコピー&ペーストしただけですね. 一般的に使われている普通の定義がきちんと書いてあるはずです. 例えば,こんな定義. Xが連結であるとは, Xの開集合U,Vに対して X= U ∪ V かつ U ∩ V = φ ならば,UまたはVはφである 例えば,この定義のもとで, 「Q∩M={S、φ}」を示すことは簡単です. 逆も簡単です. 練習問題として手ごろでしょう

be_da_i
質問者

補足

そっかアドバイスありがとう。まじで感謝してるっす。 ありがとう Xの開集合U,Vに対して X= U ∪ V かつ U ∩ V = φ ならば,UまたはVはφである うん教科書にもこんなことが書いてあったようなきがする

  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.1

問1はそれで良いと思います。 問2も良いでしょう。 問3は、ちょっと表現の仕方が変ですね。「部分集合」を削除して下さい。 問4は、違うんじゃないですか。Sは何ですか?連結の定義をもう一度、復習して下さい。

be_da_i
質問者

補足

ごめんなさい問4はSではなくてXの間違いです

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