カバネリピンボール

  • ベストアンサー

わからない教えてください。位相数学

//oshiete1.goo.ne.jp/qa2672839.htmlで質問したものです。位相数学でわからないことがあります。教えてください 松坂和夫の集合・位相入門(44刷)の第4章についてわかりません。 甲) p152にこんなことが書いてあります。ただ、ここにQに似た文字が出てきて、Qを横にしたものがでてきます。いかこのQをよこ向きにしたものをQと表記します。またфの表記は本当はこれではありません。なんかみたことない記号です。似ているこのфで代用します。φは空集合のきごうです。 Sを一つの空でない集合とする。Sの部分集合系(すなわちф(S)の部分集合系)が次の3条件をみたすとき、QはSにひとつの位相構造を定める。あるいは簡単に、QはSにおける一つの位相であるという。 Oⅰ)S∈Qおよびφ∈Q Oⅱ)Ο1∈Q、Ο2∈QならばΟ1∩Ο2∈Q Oⅲ)(Ολ)λ∈∧ をQの元からなる任意の集合族(すなわち、添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈∧に対してΟλ)とすれば∪Ολ∈Q  と表記されています。なおΟλというのはΟλのλは添え字でちっちゃいです。Ο1も同様に数字は添え字です。正直書いてある意味がわかりません。これは定義だとおもうのですが。考えたのですが、前の質問の ”空でない集合Xの位相Oとはなにか”でXがSに対応して、OがQに対応するんですか? 乙) (S、Q)を一つの位相空間とする。以下これをSと書く。この位相空間の閉集合系をΨとする。 Q∩Ψ={S、φ}であるとき、位相空間Sは連結である。と明記されていますが、これも意味がわかりません。 この二つの事柄について教えてもらえないでしょうか?具体的な事例を示してもらえれば納得できるかも。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.3

>残念ながら、ちゃんと読んでいるとは言えないようです。 同感です.前の質問でもそうでしたが・・・ 何が定義で,どういう表記で何を表すのかとかが 整理できてない感じですね ノートを作って一個一個自分で整理しないと この手の数学の本はよめません. この本は基本的ですけど立派な数学の専門書です. 小説のようにつらつら読んでるだけだと 「ちゃんと読んでる」にはなりません. >その円の中集合のあつまりということでしょうか? その円の中「の」集合の集まりということです. 「系」についての説明がありませんでしたか? #他の本だと「族」なんて書いてあるかも. 「集合の集合」というのは極めて微妙な問題をはらんでいるので 慎重に記述されているか,何らかの注意書きがあるはずです. 例えば,本書ではとりあえず素朴集合論で考えるとかいう言明. >の中括弧のなかの中括弧はなんなのか意味不明です。 では,{1,2,3} は何なのかわかりますか? 最初の方に書いてませんか? 集合の「外延的表記」「内延的表記」とかでてませんか? {1,2,3}={x | xは整数,0<x<4} みたいな例がありませんか? {1}は要素が1のみの集合 だったら,{p}は要素がpのみの集合です. {1,2}の部分集合の集合は{φ,{1},{2},{1,2}}だということは わかりますか? 部分集合の集合は要素が集合である集合の一種です. >Sがただ1つの元から成る集合S={p}ならば、Sにおける位相は明らかにQ={φ、S}のみである Sの部分集合全体が分かりますか? 位相を定義するための「開集合系」は 部分集合全体の集合(ベキ集合という)の部分集合です. Sの部分集合全体が分かれば,{φ,S}が位相(正確には開集合系)で あるのは,定義より明らかです(定義の条件1そのもの). >Q∩Ψ={S、φ}であるとき、位相空間Sは連結である。と明記されていますが、これも意味がわかりません。 何もかも一足飛びに理解はできません. 位相の定義を理解できていない段階で 「連結」の定義を理解できていますか? この手のもには「連結」という言葉のイメージはとりあえず忘れて 定義に愚直に当てはめて考えるしかありません.

be_da_i
質問者

お礼

ちょっと自分なりに考えて冷静にやってみたら29個かけました。 またわからないこと教えてください。とりあえずこれは締め切ります。 ありがとうございやした

be_da_i
質問者

補足

>>最初の方に書いてませんか? >>集合の「外延的表記」「内延的表記」とかでてませんか? >>{1,2,3}={x | xは整数,0<x<4} みたいな例がありませんか? 書いてありました。なるほど、そっかそれなんだ。ごめんなさい {1}は要素が1のみの集合 だったら,{p}は要素がpのみの集合です. {1,2}の部分集合の集合は{φ,{1},{2},{1,2}}だということは わかりますか? そうかわかる、これは部分集合の集合か!! 部分集合には、{φ}、{1}、{2}、{1、2}があって。それを さらにあつめて、こういう表記になっているんですね。あと、こう書いてもOKですか? S={1、2} この部分集合の集合を{φ,{1},{2},S}って書いてもOKですか? あともう一つ疑問があります。Sが三つの元S={p, q, r}からなるときには位相は29個あるとなっています。なぜ29個なのかわかりません。 だって、これの部分集合は{φ}、{p}、{q}、{r}、 {p、q}、{p、r}、{q、r}{p、q、r}の8つじゃないのでしょうか?

その他の回答 (2)

  • koko_u
  • ベストアンサー率12% (14/116)
回答No.2

>この中括弧のなかの中括弧はなんなのか意味不明です。 残念ながら、ちゃんと読んでいるとは言えないようです。

  • koko_u
  • ベストアンサー率12% (14/116)
回答No.1

いずれも定義なので「そういうことです」としかコメントしようがない。 普通の参考書であれば、定義と前後して具体的な例や定義の意図すること。さらにこの定義と直感的に親しみ深い距離空間との関係などが述べられていると思うのだが。  >これは定義だとおもうのですが。考えたのですが、 普通の参考書であれば、太字で「定義」とタイトルされて内容が字下げされていたりするはず。 #152ページまで順に読んでる?

be_da_i
質問者

お礼

そういえば具体的な事例がのっていますが、これも意味わかりません。 a) Sがただ1つの元から成る集合S={p}ならば、Sにおける位相は明らかにQ={φ、S}のみである b) Sがただ2つの元から成る集合S={p、q}ならば、容易にわかるようにSにおける位相には次の4つがある。Q1={φ、S}、Q2={φ、{p}S}、Q3={φ、{q}、S}、 Q4={φ、{p}、{q}、S}=ф(S) って書いてあります。この中括弧のなかの中括弧はなんなのか意味不明です。{φ、{p}、{q}、S}の{p}が意味不明です。 c)

be_da_i
質問者

補足

ちゃんと読んでいます。あとちょっと間違えました。 Sの部分集合系(すなわちф(S)の部分集合系)は Sの部分集合系(すなわちф(S)の部分集合系)Qの間違いでした。 部分集合系ってなんですか?部分集合の集まりですか。 例えば、1≧x^2+y^2 なら、中心(0、0)の円の半径1の円の中をSとして、その部分集合というのは、その円の中集合のあつまりということでしょうか?

関連するQ&A

  • 位相数学の添削をしてほしいず

    //oshiete1.goo.ne.jp/qa2682012.htmlで聞いたものです。 以下の問題について自分なりに解答をまとめてみたので添削してください。小さいことでもいいので悪いところを指摘してほしいです。 ページは松坂和夫の集合・位相入門をまとめたページです。 問1)Xの位相Oとは何か? ただしMλとかM1とかのλや1は添え字です。この問題は 前の質問にあるやつや152ページからまとめたものです。 解答)以下の条件、甲、乙、丙を満たすことである    甲. X∈O および φ∈O    乙. M1∈O、M2∈Oならば M1∩M2∈O    丙. (Mλ)λ∈∧ をOの元からなる任意の集合族(すなわち、      添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈      ∧に対してMλ∈O)とすれば∪Mλ∈O  問2)A∈XのときのAの相対位相となにか? これは188ページをまとめてみました。 解答)iをAからXへの標準的写像とする(つまり、x∈Aならあばi(x)=x)このときに、i:A→Xにより, Xの位相Qから誘導されるAの位相OaをAの相対位相とよぶ 問3)位相空間Xがコンパクトであるとは何か? これは209ページをまとめてみました。 解答)Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる   こと 問4)位相空間Xが連結であるとはどういうことか? 解答)Xの閉集合系をMとする。Xの位相をQとするときに、    Q∩M={S、φ}をみたすことである。 この答えであっているのか間違えているのか、違う部分を指摘してほしいです。

  • 位相についてのご質問です。

    位相について質問です。 「集合Sの部分集合族Kが (1)O(空集合)、SがKに含まれる (2)集合A,BがKに含まれるならAとBの共通集合もKに含まれる。 (3)任意のKの元Fmに対してFmの全和集合もKに含まれる。 以上を満たす時,KはSに位相を与えるといい(S,K)を位相空間という。 そして、Kの元を開集合といいKを開集合系という。」 このKの元を開集合といいという所からさっぱり分かりません。 どこがどう開集合なんですか? 例えばS={1,2,3}とすればK={O,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} となってこれは(1)から(3)を満たすので(S,K)は位相空間でKの元は開集合にもなってないと思うのですが。

  • 集合と位相

    (1)X,Yは位相空間とする。A,BがそれぞれX,Yの開集合であるときA×Bは直積位相X×Yの閉集合であることを示せ。 (2){Xλ}λ∈Λを位相空間の族としてAλ⊂Xλ(λ∈Λ)とする。 この時直積位相空間Πλ∈ΛXλにおいて以下を示せ。 (閉包のバーの書き方がわからないのでclと表記します) (a)cl(Πλ∈ΛAλ)=Πλ∈ΛclAλを示せ。 (b)Λは無限集合であるとき、Int(Πλ∈ΛAλ)≠φであるための必要十分条件は有限個のIntAλ≠φであり、かつその他のλについてはAλ=Xλであることを示せ。 (1)は以下のように考えたのですがわかりません。 Aの補集合、Bの補集合はそれぞれX,Yの開集合となる。 よってA^c×B^cは直積位相X×Yの開集合となる。 また(A×B)^c=(A^c×Y)∪(X×B^c) ここで詰まってしまいました。友人に聞いてみたら、 「生成する」位相という言葉の定義がわかってないと言われました。これはどのような意味なのでしょうか? 例えは直積位相の定義にもありました。 X,Yが位相空間でそれぞれの位相をЦx、Цyとした時に Цx×Цy={O1×O2|O1∈Цx,O2∈Цy}が生成する位相を直積位相という。 また位相を「入れる」ということはどういう意味なのでしょうか? (2)(a)は次のように考えてみましたがどうでしょうか? (⊃) ∀x∈Πλ∈ΛclAλを取る。∃λ∈Λ s.t. x∈clAλであるから xの任意の近傍はAλと交わる。したがってxの近傍はAλよりも大きい集合Π(λ∈Λ)Aλとも交わるので、 xはcl(Π(λ∈Λ) Aλ)の点になる。 (⊂) ∀x∈cl(Π(λ∈Λ) Aλ)を取る。  xの任意の近傍とΠ(λ∈Λ)Aλは交わるから、 あるAλと任意の近傍は交わる。これよりx∈clAλ よってx∈Πλ∈ΛclAλ (b)はわかりませんでした。アドバイスお願いします。

  • 位相数学について教えてください

    いま独学で勉強中です。 1.空でない集合Xの位相Oとはなにか? この問題どうやればいいのかわかりません。 教えてください

  • 集合と位相

    (問)fを集合Xから位相空間(Y,U)への全射とするとき、つぎを証明せよ。 ※Uは位相 (1)T={f^(-1)(V)|V∈U}のときTはX上の位相である (2)Tはfを(X、T)から(Y,U)への連続写像とするX上の最小の位相である。 (1)の答案 (O1)Uは位相なので、Y、φ∈Uである。fは全射なのでX、φ∈Tである。 (O2)Uは位相なので任意のVの和集合はUの元である。fは全射なので、Tの任意の元Sの和集合はTの元である。 (O3)Uは位相なので有限個の任意のVの共通集合はUの元である。fは全射なので、Tの有限個の任意の元SはTの元である。 (2)はまったくてがつけられません。 どなたか詳しい方教えてください。

  • 有限集合からなる位相空間における写像の連続性

    ある位相空間Xから別の位相空間Yへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Oの逆像f^-1(O)が開集合であると定義されていると思いますが、この定義に従うと、有限集合に位相を入れた位相空間Xからの別の位相空間Yへの写像は、位相空間Xの集合が全部開集合となり、必ず連続になるのでしょうか。

  • 位相の問題です。

    位相の問題です。 (X,Q)、(X,Q'):位相空間 X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y} Qx×y:=U×V{U∈Q,V∈Q'の形の任意個のX×Yの部分集合の和集合} ここで (X×Y,Qx×y):位相空間になることを示せ。 わかる方いましたらよろしくお願いいたします <(_ _)>

  • 離散位相、密着位相はなぜそう呼ばれる?

    X を集合とするとき、X のすべての部分集合からなる位相 を考えることができる。この位相を離散位相(りさんいそう、discrete topology)といい、それを開集合系とする位相空間を離散空間(りさんくうかん、discrete space)という。また、空集合と X 自身のみからなる族 {&Oslash; , X} も位相となる。この位相を密着位相(みっちゃくいそう、indiscrete topology)または自明位相 (trivial topology) といい、それを開集合系とする位相空間を密着空間という。 なぜ、離散、密着という言葉が使われるのですか?

  • 位相

    数学科2年のものです。 位相空間についての授業が始まったのですが、演習問題で、わからない問題があります。 初歩的な問題かもしれませんが、どなたか解答お願いします。 集合S={1,2,3,4}に部分集合族Lを L={Φ、{1}、{1,2}{1,3}{1,2,3}、S} により与える。Sの部分集合{1,2,4}をTとおく。 (1)(S,L)は位相空間であることを示せ。 (2)位相空間(S、L)においてTの内部を求めよ。 (3)位相空間(S、L)においてTの閉包、境界を求めよ。 特に(1)の位相空間の定義の、「Lに属する任意個の和集合がLに属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。

  • 最小の位相

    X={1,2,3,4}とする。 Xの部分集合族L={{1,4},{2,3},{3,4}}を含む最小の位相Oを求めよ。 これは、密着位相が最も小さい位相だから、それにLを含ませた O={空集合,{1,4},{2,3},{3,4},X} と言うことでいいんでしょうか?

専門家に質問してみよう